कोरीन की आंखों के माध्यम से सीन के रूप में through की अपरिमेयता माप

स्नातक की पढ़ाई के अपने नए साल के दौरान कुछ समय पहले, मैंने अपने प्रोफेसर, डॉ। एरिन पीजे पीयर्स के साथ एक पेपर लिखा था, जो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कोसिन के कुछ अनुक्रमों के बीच के संबंध पर लंबे समय तक साक्ष्य का विस्तार करता है, और इसके संबंध में कुछ "तर्कहीनता" के रूप में जाना जाता है। उपाय “𝜋 का। मेरे बहुत से मित्र / सहकर्मी इस विशेष पेपर के बारे में उत्सुक हैं, क्योंकि इसका बड़ा हिस्सा अप्रशिक्षित की तरह अप्रशिक्षित आंख से दिखता है। हकीकत में, कागज के पीछे बहुत सारी अवधारणाएं और परिणाम बहुत उच्च विद्यालय स्तर के गणित के साथ बहुत ही स्वीकार्य हैं! कागज का मुख्य प्रमेय इस प्रकार है:

ओह!

दी, यह गणित का एक डराने वाला हिस्सा है, लेकिन मैं वास्तव में गंभीर था कि इसे समझने के लिए आपको केवल गणित के उच्च स्तर की शिक्षा की आवश्यकता है! इसलिए इसे थोड़ा विराम दें, जिसकी पृष्ठभूमि की थोड़ी जानकारी शुरू हो।

किस प्रकार की संख्याएँ हैं?

यह एक बहुत व्यापक प्रश्न की तरह लगता है, और वास्तव में यह है, लेकिन दैनिक आधार पर आपके द्वारा सामना की जाने वाली अधिकांश संख्याओं को वर्गीकृत करने का एक अपेक्षाकृत सरल तरीका है।

सबसे पहले, प्राकृतिक संख्याओं के साथ शुरू करते हैं। प्राकृतिक संख्याएं मूल रूप से वह संख्या होती हैं जिसका उपयोग आप वस्तुओं की व्यवस्था को गिनने के लिए करते हैं; मेरे पास एक सेब, दो सेब, तीन सेब… और आगे भी हो सकते हैं। चाहे आप प्राकृतिक संख्या के रूप में शून्य को शामिल करते हैं या नहीं, यह केवल व्यक्तिगत प्राथमिकता के लिए छोड़ दिया जाता है - कुछ प्राकृतिक संख्याओं के समूह के साथ-साथ संपूर्ण संख्याओं के रूप में सेट होते हैं।

अगला, हमारे पास पूर्णांक हैं, जो मूल रूप से भीलों के समान हैं, लेकिन साथ ही नकारात्मक भीलों को शामिल करते हैं (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…)।

एक और स्तर ऊपर, हमारे पास तर्कसंगत संख्याएं हैं: मूल रूप से किसी भी संख्या को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। ध्यान दें कि इसमें पहले से वर्णित सभी श्रेणियां शामिल हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या को केवल 1 (जैसे 3 = 3/1, 123 = 123/1) से विभाजित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है। इसमें कई दशमलव संख्याएँ भी शामिल हैं, विशेष रूप से दशमलव संख्याएँ जो समय-समय पर समाप्त होती हैं, या दोहराती हैं (जैसे 0.3333333… = 1/3, 0.0625 = 1/16)।

इसके शीर्ष पर, हमारे पास अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, जो कि कोई भी दशमलव संख्याएँ हैं जो समय-समय पर समाप्त या दोहराई नहीं जाती हैं। ये सोचना थोड़ा कठिन है, क्योंकि वहाँ कोई अच्छा वास्तविक दुनिया सादृश्य नहीं है (जब पिछली बार आपके पास ,2 सेब थे?), लेकिन मेरे साथ सहन करें। इस लेख के बाकी हिस्सों के लिए, बस अपरिमेय संख्याओं को उन संख्याओं के रूप में देखें जिन्हें अंश के रूप में नहीं रखा जा सकता है (जैसा कि परिमेय हो सकता है)।

संख्याओं का पदानुक्रम। स्रोत

संख्याओं की अधिक श्रेणियां हैं (बीजगणितीय, पारलौकिक, जटिल, हाइपरम्प्लेक्स, ट्रांसफ़ेक्ट, हाइपरल, सरियल… कुछ नाम), और प्रत्येक वास्तव में अपने स्वयं के एक लेख के हकदार हैं, लेकिन हमने जो अभी तक परिभाषित किया है वह काफी अच्छा है।

करीब आ रहे हैं…

अब एक और महत्वपूर्ण विचार के बारे में बात करते हैं। याद रखें जब मैंने कहा था कि अपरिमेय संख्याओं में वे सभी संख्याएँ शामिल होती हैं जिन्हें तर्कसंगत संख्याओं (यानी अंशों) द्वारा प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है? खैर, यह पता चला है कि किसी भी तर्कहीन संख्या के लिए, आप उस तर्कहीन संख्या को "पिक" कर सकते हैं जो उस अपरिमेय संख्या के जितना करीब हो। मुझे दिखाते हैं कि कुछ उदाहरणों के साथ इसका क्या मतलब है।

आइए एक अपरिमेय संख्या को लेते हैं, 2 का वर्गमूल, जो 1.414213562 है ... और कुछ परिमेय संख्याओं को खोजने की कोशिश करते हैं जो इसके करीब हैं। उदाहरण के लिए, 3/2 = 1.5, 1.41421356237 के बहुत करीब है ... वास्तव में यह केवल 6% भिन्न है! लेकिन हम बेहतर कर सकते हैं - वास्तव में बेहतर, वास्तव में। क्या होगा अगर 3/2 के बजाय, हमने 141/100 = 1.41 की तरह कुछ उठाया? यह केवल 0.03% दूर है। 1414/1000 के बारे में क्या? यह 0.02% दूर है! आप शायद यह देख सकते हैं कि मैं इस के साथ कहाँ जा रहा हूँ - मूल रूप से, उस तर्कहीन संख्या के दशमलव निरूपण से जितनी संख्याएँ आप चाहते हैं, उसे अनुमानित करें, इसे काटें, और 10 की इसी शक्ति से विभाजित करें, और उछाल, आपने एक तर्कसंगत चुना मनमाने ढंग से उस तर्कहीन संख्या के करीब!

कुछ अपरिमेय संख्या अन्य की तुलना में अधिक तर्कसंगत हैं

हमने अभी सीखा कि हम किसी भी तर्कहीन संख्या को किसी भी तर्कसंगत संख्या के साथ मनमाने ढंग से अच्छी तरह से समझ सकते हैं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यह हर संख्या के लिए ऐसा करने के लिए कुशल है। 2 के वर्गमूल के साथ उदाहरण याद रखें? मान लें कि हम पहले वर्णित विधि का उपयोग करके 2 के वर्गमूल के 0.0000002% के भीतर प्राप्त करना चाहते थे। 141421356/100000000: ठीक है, हमें वहां पहुंचने के लिए एक सुंदर गंदा हिस्सा बनाने की जरूरत है। हालांकि यह हर संख्या के लिए मामला नहीं है! इस संख्या पर एक नज़र डालें: 1.100100001000000001…, जिसे हम 1.1 से शुरू करके निर्माण करते हैं, फिर दो शून्य और एक को अंत (1.1001) में जोड़ते हैं, फिर चार शून्य और एक (1.100100001) को जोड़ते हैं, फिर आठ शून्य और एक जोड़ते हैं। (१.१००१००००१००००००००००१), और आगे अनंत तक। यदि हम इस संख्या को 0.0000002% सटीकता के साथ अनुमानित करना चाहते हैं, तो हम इसे एक छोटे से अंश के साथ कर सकते हैं: 11001/10000।

तो, ऐसा लगता है कि कुछ तर्कहीन संख्याओं को दूसरों की तुलना में अच्छी तरह से अनुमानित करने के लिए "अधिक जटिल" अंशों की आवश्यकता होती है। एक अर्थ में, एक अपरिमेय संख्या को अनुमानित करने के लिए जितना कम जटिल अंश की आवश्यकता होती है, वह संख्या उतनी ही अधिक "तर्कसंगत" होती है, क्योंकि यह संख्या बस कुछ "अच्छी" तर्कसंगत संख्या के बहुत करीब होती है। वास्तव में, "तर्कहीनता को मापने" की एक सटीक गणितीय परिभाषा है, जो परिभाषित करती है कि पहले बताए गए अर्थों में एक संख्या कितनी तर्कसंगत है। वास्तविक परिभाषा थोड़ी जटिल है, और यदि आप रुचि रखते हैं, तो मैं आपको इसके बारे में और अधिक पढ़ने के लिए प्रोत्साहित करता हूं, लेकिन यह अनिवार्य रूप से मापता है कि अंश का हर (निम्न भाग) का आकार आकार में कैसे बढ़ता है, अपरिमेय संख्या के सन्निकटन के रूप में बेहतर होना।

आइये अब कॉशन के बारे में बात करते हैं

जैसा कि आप हाई स्कूल से याद कर सकते हैं, कोसिन एक आवधिक कार्य है जिसे संक्षेप में परिभाषित किया जा सकता है, अलग-अलग कोणों पर यूनिट सर्कल के एक्स-समन्वय द्वारा, जैसा कि नीचे GIF द्वारा खूबसूरती से चित्रित किया गया है।

स्रोत

आप में से जो लोग कॉशन के बारे में थोड़ा और याद रखते हैं, आपको याद होगा कि कोसाइन का मान 0, 2𝜋, 4𝜋, 6𝜋… और इतने पर के कोण मूल्यों पर केवल 1 के बराबर है। यूनिट सर्कल आरेख पर पीछे मुड़कर देखें, इसका कारण यह है कि केवल कोसाइन समतल, सकारात्मक रूप से क्षैतिज है, शून्य डिग्री या 360 ° (2𝜋 रेडियन) के पूर्णांक गुणकों के अनुरूप हैं।

ऐसे कारणों के लिए जो इस लेख के दायरे से थोड़ा आगे हैं (लेकिन वास्तव में सहज नहीं हैं), कोई पूर्णांक मान (शून्य के अलावा) मौजूद नहीं है, जिस पर कोसाइन 1 के बराबर है (उदाहरण: cos (1) 403 0.5403, cos (2) 2 -0.4161, कॉस (3) 65 -0.6536…)। फिर भी, जिस तरह से हम तर्कसंगत संख्याओं के साथ किसी भी तर्कहीन संख्या को मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमानित कर सकते हैं, हम एक पूर्णांक को चुन सकते हैं, जो कोसाइन को मनमाने ढंग से 1 के करीब लाता है (उदा .: cos (377) = 0.99996)। यह, साथ ही, पहले से चर्चा की गई बातों से कुछ हद तक सहजता से अनुसरण करता है। आप देख सकते हैं कि जैसा कि हमने पहले पूछा था उससे बहुत पहले एक सवाल उठता है: कोसाइन को वास्तव में 1 के करीब पाने के लिए, हमें कितनी बड़ी संख्या चुनने की आवश्यकता है? उदाहरण के लिए, 43042119 का कोसाइन 1 के इतना करीब है कि यह केवल एक प्रतिशत के लगभग बिलियन से भिन्न होता है!

कुछ हद तक मनमाना अनुक्रम

अब, कुछ थोड़ा अजीब करते हैं। किसी संख्या, n का कोसाइन लें, और परिणाम को n बार (यानी cos (n) a) से गुणा करें। याद रखें कि जब आप एक पॉजिटिव संख्या को 1 से कम दूसरे पॉजिटिव नंबर से एक से गुणा करते हैं, तो परिणाम मूल संख्याओं (यानी 0.5 * 0.3 = 0.15) से भी छोटा होता है। तो निश्चित रूप से, यदि हमने cos (377) जैसी संख्या ली, जो कि 1 से कम है, और इसे 377 गुना गुणा करके, हमें वास्तव में एक छोटी संख्या के साथ समाप्त करना चाहिए, है ना? आश्चर्यजनक रूप से, कभी-कभी हम ऐसा नहीं करते हैं। वास्तव में, cos (377) ³⁷⁷ लगभग 0.985 के बराबर है, cos (377) से 2% कम है।

यह थोड़ा आश्चर्य की बात है, और वास्तव में हम कई अन्य उदाहरण पा सकते हैं जहां यह सच है! संख्या कुछ बेतरतीब ढंग से वितरित प्रतीत होती है, लेकिन जब हम cos (n) seem प्लॉट करते हैं, तो कुछ जादुई होता है:

कई अलग-अलग घटता की रचना की तरह दिखने के बावजूद यह एक एकल भूखंड है!

दुनिया में क्या हो रहा है यहाँ? यह यादृच्छिक मिश्रणों के एक गुच्छा की तरह दिखता है, जो सभी को एक साथ मिलाया जाता है, फिर भी इसे एक एकल समीकरण से उत्पादित किया गया: cos (n) a। इसके अलावा, पूर्णांकों की संख्या का कोई अंत नहीं प्रतीत होता है जिन्हें हम चुन सकते हैं जिसमें cos (n) ⁿ अभी भी 1 के करीब है!

यहाँ प्रत्येक लाल चोटी एक पूर्णांक है जो cos (n) an को करीब लाता है 1. ध्यान दें कि x- अक्ष का पैमाना प्रति टिक 100000 है!

और अब, अधिक प्रश्न उठते हैं: क्या असीम रूप से कई संख्याएं हैं जो कॉस (एन) को ar सुंदर 1 के करीब लाती हैं? यदि हां, तो क्यों? पहले ग्राफ़ में वे अजीब मोड़ क्या हैं, और वे क्यों दिखाई देते हैं? क्या हम गणितीय रूप से उन वक्रों को अलग और वर्णित कर सकते हैं?

यह गहरा हो जाता है ...

संक्षेप में, पिछले प्रश्नों के उत्तर क्रमशः हैं: हाँ, यह जटिल है, यह जटिल है, और हाँ।

प्रमेयों और प्रमाणों की एक भीड़ है जो हम अपने पेपर में वर्णन करते हैं जो इन सभी प्रश्नों का उत्तर विस्तार से देते हैं (यदि बाहर हो तो देखें!), लेकिन वे इस लेख के दायरे से बाहर हैं, और फिर से शामिल हैं। बल्कि, यह वही है जो हमने इन उत्तरों की खोज में पाया है जो कि कागज का सच्चा हित और ध्यान है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, हम असीम रूप से कई संख्याएँ चुन सकते हैं जो cos (n) (को मनमाने ढंग से 1 के करीब लाती हैं, लेकिन क्या आप जानते हैं कि आप अनंत रूप से कई संख्याएँ भी प्राप्त कर सकते हैं जो cos (n) ^ (n ^ 1.5) 1 के करीब लाती हैं? और यहां तक ​​कि cos (n) ^ (n ^ 1.99999) 1 के करीब है? फिर भी, हम कई संख्याओं को खोजने के लिए संघर्ष करते हैं जो 1 के करीब cos (n) ^ (n close) लाते हैं (हालांकि हम अभी तक इसे साबित नहीं कर सकते हैं)। क्यों??

हमने इस पेपर में जो दिखाया है वह यह है कि directly की तर्कहीनता का माप सीधे तौर पर जुड़ा हुआ है कि क्या हम असीम रूप से कई संख्याएँ चुन सकते हैं जो cos (n) ^ (n ^ कुछ) को बहुत करीब लाते हैं 1. वास्तव में, हम दिखाते हैं कि की तर्कहीनता माप 2 * कुछ -2 के बराबर है। जहां कुछ सबसे बड़ी संख्या है जिस पर हम अभी भी अनंत रूप से कई नंबर पा सकते हैं जो कि cos (n) ^ (n ^ कुछ) वास्तव में 1 के करीब लाते हैं।

ऐसे अन्य शांत परिणाम हैं जो हम साबित करते हैं, इस तथ्य सहित कि हम असीम रूप से कई पूर्णांकों का चयन कर सकते हैं जो cos (n) ^ (n cos) लाते हैं, मनमाने ढंग से लगभग 0.6065 के करीब, या कि हम समान रूप से स्थानबद्ध पूर्णांक (यानी अंकगणितीय) के मनमाने ढंग से लंबे अनुक्रम पा सकते हैं प्रगति) जो वास्तव में हमारे कोसाइन अनुक्रम की विशेष परिस्थितियों में 1 के करीब हैं।

निष्कर्ष

मुझे उम्मीद है कि इस पेपर के मूल के बारे में यह थोड़ा प्रकाश डालता है, और कॉस (एन) जैसी सरल दिखने वाली चीजों में अंतर्निहित जटिल जटिलता कैसे हो सकती है!

मैं अपने अविश्वसनीय रूप से शानदार प्रोफेसर, डॉ। एरिन पीजे पीयर्स, जो वर्तमान में कैलिफोर्निया पॉलिटेक्निक यूनिवर्सिटी, सैन लुइस ओबिस्पो में गणित के प्रोफेसर हैं, और मैं बहुत आभारी हूं कि उन्होंने समय निकाला मुझे इस प्रक्रिया के माध्यम से मार्गदर्शन करें और मार्गदर्शन करें!